参考：http://www.cnblogs.com/wuyuankun/p/3982216.html

          http://www.cnblogs.com/yaowen/p/4268157.html

 

哈夫曼树又称最优二叉树，

是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点

的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度

为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)

，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径

长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

哈夫曼编码步骤：

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）

二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。

三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。

四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：

虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：

再依次建立哈夫曼树，如下图：

其中各个权值替换对应的字符即为下图：

所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。

//哈夫曼树类public class HaffmanTree {    //最大权值    static final int MAXVALUE=1000;    int nodeNum ; //叶子结点个数        public HaffmanTree(int n)    {       this.nodeNum = n;    }        //构造哈夫曼树算法    public void haffman(int[] weight,HaffNode[] nodes)//权值数组，所有节点数组    {        int n = this.nodeNum;        //m1,m2,表示最小的两个权值，x1,x2,表示最小两个权值对应的编号,m1表示最小，m2表示次小        int m1,m2,x1,x2;                 //初始化所有的结点，对应有n个叶子结点的哈夫曼树，有2n-1个结点。        for(int i=0;i < 2*n-1;i++)        {            HaffNode temp = new HaffNode();            //初始化n个叶子结点，就是输入的节点。0、1、2、3是叶子节点也是输入的节点            if(i < n)            {               temp.weight = weight[i];                }            else            {               temp.weight = 0;                }            temp.parent = 0;            temp.flag = 0;            temp.leftChild = -1;            temp.rightChild = -1;            nodes[i] = temp;        }                for(int i=0;i
     
      < n;j++)           {               temp.bit[j] = code.bit[j];           }           temp.weight = code.weight;           temp.start = code.start;           haffCode[i] = temp;        }    }}//哈夫曼树的结点类public class HaffNode {       int weight; //权值    int parent ;//他的双亲    int flag ;//标志，是否为叶子节点    int leftChild; //他的左孩子    int rightChild;//他的右孩子        HaffNode()    {            }    }//哈夫曼编码类public class Code {    int[] bit;  //编码的数组    int start;  //编码的开始下标    int weight; //权值    Code(int n){        bit = new int[n];        start = n-1;    }}public class Test {    public static void main(String[] args) {                int n = 4;        int[] weight = {1,3,5,7};        HaffmanTree haffTree = new HaffmanTree(n);        HaffNode[] nodes = new HaffNode[2*n-1];        Code[] codes = new Code[n];         //构造哈夫曼树        haffTree.haffman(weight, nodes);        //生成哈夫曼编码        haffTree.haffmanCode(nodes, codes);                //打印哈夫曼编码        for(int i=0;i
     

哈夫曼树可用于构造代码总长度最短的编码方案。具体构造方法如下：

设需要编码的字符集合为{d1,d2,…,dn}，各个字符在电文中出现的次数集合为{w1,w2,…,wn}，以d1,d2,…,dn作为叶结点，以w1,w2,…,wn作为各叶结点的权值构造一棵二叉树，规定哈夫曼树中的左分支为0，右分支为1，则从根结点到每个叶结点所经过的分支对应的0和1组成的序列便为该结点对应字符的编码。这样的代码总长度最短的不等长编码称之为哈夫曼编码。